Formas diferenciales vectoriales y tensoriales

Abstract

En este artículo de naturaleza conceptual y pedagógica, se presenta una de las diferentes maneras de obtener algunos de los resultados básicos de la geometría clásica de Riemann, mediante las formas tensoriales. Se establece en primer lugar, y como una motivación para las definiciones formales, las 1-formas diferenciales vectoriales para una supercie clásica M
como una sub-variedad de IR donde en cada punto m de M existe un plano tangente espacio vectorial tangente, sub-espacio vectorial del espacio vectorial IR³  en m. Se hace notar entonces que la 1-forma vectorial sobre M en m se comporta como una aplicación lineal del espacio tangente de M en m sobre el espacio tangente envolvente IR³. Una interpretación inversa puede definirse, en el sentido de la 1-forma sobre IR³, y el comportamiento de transformación lineal se mantiene. Sin embargo, por razones de dualidad veremos como las 1-formas diferenciales vectoriales, se identifican, isomórficamente con otra aplicación lineal, dual de la primera, conocida como la adjunta. Pero también por motivos de la generalización de las 1-formas vectoriales a las formas tensoriales, se interpreta una 1-forma vectorial como una transformación lineal isomorfa al producto tensor de espacios vectoriales. Siendo así, generamos las 1-formas vectoriales mediante la diferencial total de un campo diferenciable que caracteriza a una superficie clásica con un plano tangente en cada punto m de M.
Se generaliza entonces las 1-formas vectoriales a las k-formas vectoriales para espacios vectoriales generales. Para una variedad Riemanniana que no es un subespacio de IR³, se supone
que M está dotada de un producto interno propio. Entonces, tomando la diferencial covariante sobre M, se construye la 1-forma diferencial vectorial sobre la variedad Riemanniana (o también la construcción inversa).
La conexión es considerada como una 1-forma escalar y se acostumbra a escribirla como una matriz de 1-formas escalares. Entonces se puede construir una 1-forma vectorial simple, que si mantiene el producto cuña y el cálculo exterior, se obtiene resultados importantes en geometría diferencial. En una segunda parte, se hace una extensión de k-formas diferenciales  vectoriales a las llamadas q-formas tensoriales mediante la diferencial covariante de un tensor. Si se aplica, la diferenciacion absoluta a estas 1formas tensoriales, se consigue una fórmula generadora de formas de curvatura (donde se incluye la 2-forma torsión, y la 2-forma curvatura). Por derivación exterior de la forma torsión y de la 2-forma curvatura, obtenemos, las llamadas primera y segunda identidad de Bianchi generalizadas. 
Nota: En la geometría de E. Cart´án (ampliada a partir del año 2003 por M. Evans) las formas vectoriales, conjuntamente con la tétrada y el método del conmutador, constituyen la nueva geometría de la gravitación o teoría: E. C. E. (Einstein - Cartan - Evans). Es decir, correcciones y ampliaciones de la Geometría Riemanniana Clásica.